Revolución científica, demostración matemática y la nueva concepción galileana del método científico

Portada del Sidereus Nuncius de Galileo, publicado en 1610. Tratado científico en el que se plasman las primeras observaciones astronómicas realizadas con un telescopio.

Uno de los temas fundamentales de la llamada Revolución científica del siglo XVII es la discusión acerca de los elementos que fueron esenciales en la ruptura con el tipo de conocimiento que previamente se estaba produciendo. Si se acepta que tal discontinuidad cognoscitiva se dio de manera radical, a tal punto de producir una nueva ciencia o la ciencia como tal, los cambios tuvieron que ser muy palpables desde el punto de vista metodológico y conceptual. Asimismo, la Revolución en la ciencia, a partir de los nuevos conocimientos adquiridos, indicaría que hay algo característico, concretamente, en la ciencia física, que la hace ofrecer un conocimiento más preciso u objetivo de la realidad que el conocimiento proporcionado por la filosofía natural[1] que dominaba en los siglos pasados. Esto podría indicar que la ciencia está configurada por un método muy específico y riguroso, y que es tal método el que la hace un quehacer cognoscitivo-aplicado exitoso.

Es importante remarcar que la ciencia moderna ―al igual que todos los periodos históricos― tuvo que necesitar un estado epistémico previo a ella para poder constituirse como tal. Un estado previo con características y metodologías distintas, pero con un mismo fin, a saber, la apropiación de la realidad natural ―lo que exigiría una actividad descriptiva y un control teórico-material del entorno. Esta comprensión previa de la Naturaleza estaba sustentada en un instrumento ―lógico-conceptual― metodológico que permitía justificar o dar razón de los fenómenos percibidos. Estos fenómenos eran explicados desde lo que para entonces se consideraba el medio más seguro y racional, es decir, la inferencia silogística y la intuición intelectual; éstas, a su vez, estaban apoyadas en la especulación metafísica sobre la constitución fundamental de la Naturaleza.

Los cambios en la metodología del quehacer cognoscitivo de la filosofía natural fueron, ciertamente, paulatinos, pero al mismo tiempo substanciales a la hora de ampliar el conjunto de los saberes presentes en ese momento histórico. De tal manera que la Revolución que dio lugar al nacimiento de la ciencia moderna estuvo marcada por significativos cambios, abandonos y superaciones de los antiguos sistemas. Uno de ellos fue propiciado por Galileo Galilei (1564-1642), quien con toda la herencia científica previa impulsó la superación del influyente sistema aristotélico que predominaba en muchos aspectos hasta ese entonces, esto a raíz de sus recias y amplias lógica y metafísica.

Uno de los aspectos impulsados por Galileo fue el de la reformulación de la demostración o explicación aristotélica, la cual aseguraba un conocimiento universal y necesario, pero a la vez con importantes dosis de especulación metafísica. Galileo puso en duda tal cualidad para la demostración racional en el método del Estagirita, impulsando otro recurso metodológico que podría lograr un mejor y más preciso conocimiento.

La nueva visión metodológica de Galileo

Para Galileo, la nueva actitud intelectual y la más racional debe ser el enfoque en la indagación de lo particular, de lo concreto, de los fenómenos percibidos por los sentidos y de sus relaciones cuantitativas. Con ello, Galileo estimula el proyecto modernista en la ciencia que procuraba la ruptura con los grandes sistemas especulativos, es decir, con los sistemas teórico-científicos basados puramente en ideas o conceptos que no ofrecían una imagen acorde con las cosas y fenómenos reales, o en otros términos: que no ofrecían un conocimiento objetivo, verdadero y exacto de la realidad. De ahí que el cambio de perspectiva en la ciencia propulsado por el astrónomo italiano fue fundacionalmente un cambio conceptual, el cual fue seguido, en consecuencia, por la imponente innovación tecnológica iniciada a partir de la invención de instrumentos ópticos de largo alcance. Pero la revolución que dio lugar al nacimiento de la ciencia moderna de la mano de Galileo fue la nueva indagación de la Naturaleza desde una perspectiva no filosófica, o más exactamente, desde unas pretensiones no esencialistas, no metafísicas, que eran las que trataban de encontrar las razones ocultas o más profundas de las cosas, o bien, la verdadera estructura de la realidad que subyace a las apariencias y que a su vez explicaría las apariencias mismas, o al menos cómo estas debían ser.

La visión de Galileo era la de renunciar a la búsqueda del conocimiento de lo no contrastable empíricamente, de todo aquello que no fuese dado por la experiencia sensible, y de lo que, por consiguiente, no se pudiera instrumental y matemáticamente medir. Lo que Galileo pretendía era conocer realmente las cosas tal como se manifiestan en tanto que fenómenos naturales con dinámicas y propiedades cuantificables, para así obtener información segura de lo que ellos realmente son, y no puras ideas de lo que en algún sentido podrían ser; labor, según Galileo, ya de por sí fútil. Como una muestra, así afirmaba Galileo en su carta a Marco Velseri en torno a sus ideas sobre las manchas solares:

o especulando queremos intentar penetrar en la esencia verdadera e intrínseca de las sustancias naturales; o nos contentamos con tener noticia de algunas de sus afecciones. El intento de buscar la esencia lo tengo por empresa imposible y por práctica no menos vana, así en las sustancias elementales cercanas como en las remotísimas y celestes[2].

Esta idea galileana ―de centrarse en las “afecciones” o propiedades externas de las cosas partiendo de la clásica dicotomía aristotélica de la composición de los entes en sustancia y accidentes― buscaba hacer de la labor científica una investigación sobre lo que observacionalmente se manifiesta y, por ello, se puede controlar; aquellas realidades concretas y particulares en las que sí se puede alcanzar un conocimiento probado y preciso. De esta manera, Galileo limitaba el ámbito de la ciencia a las propiedades objetivas que se puede cuantificar o matematizar, a diferencia de las ocultas o puramente ideales. Es por ello que para Galileo ―siguiendo en esto sí a Aristóteles― la ciencia debe proceder por inducción: de la observación a los principios generales y seguidamente a las observaciones. Según esto, la metodología propuesta para la ciencia por el pisano debía sustentarse en la corroboración experimental de las ideas o teorías postuladas, ya que el propio Galileo no rechazaba la idealización, sino más bien la incierta actividad cognoscitiva de postular ideas que no pudieran ser validadas por la experimentación. “Galileo insistía en la importancia de la abstracción y de la idealización para la física, extendiendo por tanto el alcance de las técnicas inductivas”[3]. De modo que no hay una exclusión total del elemento especulativo en el pensamiento de galileano, sino una exigencia de ordenación y completud del método científico. Así pues, la intención y logro del científico italiano fue la de dar el lugar que le correspondía a la experimentación y la cuantificación en la metodología científica, y con ello propiciar el surgimiento de la nueva ciencia matemático-experimental rigurosa.

Cambios en la metodología científica: la ruptura con el aristotelismo.

Uno de los cambios significativos en cuanto a las nuevas consideraciones propuestas por Galileo para la fundamentación del conocimiento científico fue el abandono de la tradición científico-metodológica aristotélica. Aristóteles ya había establecido una lógica de la ciencia que hacía de ésta un conocimiento racional y necesario; su elemento central y determinante era el silogismo. Para el filósofo griego, la ciencia era consecuencia de un conjunto de conclusiones demostradas deductivamente a partir de conclusiones previas que por igual han sido demostradas, así como también desde principios primeros (axiomas) indemostrables. El silogismo debía incluir en sus premisas principios explicativos sustentados en la experiencia sensible, ya que para Aristóteles el conocimiento científico comienza con la percepción de los fenómenos. Y la obtención de las verdades contenidas en esos principios inicia con observaciones sensoriales, para que, a partir de ellas, se alcancen generalizaciones continuas y finalmente los principios[4] de cada ciencia; todo esto por medio de la llamada intuición intelectual.

El silogismo científico aristotélico implica unos nexos o relaciones necesarias entre las premisas y la conclusión que hacen que la demostración deductiva sea de carácter apodíctico. A su vez, los contenidos de los enunciados deben hacer referencia a una esencia constituyente de las cosas, que es aquello que es, según el filósofo, lo anteriormente cognoscible y, además, lo mejor conocido, y que es manifestado en su particularidad física en lo captado por los sentidos. Para Aristóteles este es el fundamento lógico-metafísico de la demostración científica: una realidad esencial abstracta, inmutable y permanente que debe ser extraída intelectivamente de las cosas. Solo de esta manera puede el silogismo estar compuesto por premisas de carácter necesario, y con ello la posibilidad de la inferencia demostrativa científica. Así afirma en los Analíticos Posteriores:

es necesario también que la ciencia demostrativa se base en cosas verdaderas, primeras, inmediatas, más conocidas, anteriores y causales respecto de la conclusión […] Así, pues, si la ciencia demostrativa parte de principios necesarios (pues lo que ella sabe no es posible que sea de otra manera), y los predicados en sí se dan como necesarios en las cosas, es evidente que el razonamiento demostrativo partirá de algunas cosas de este tipo: pues todo se da así o por accidente, pero los accidentes no son necesarios. […] De los accidentes que no son en sí del modo en que se definieron las cosas en sí, no hay ciencia demostrativa[5].

Es así como la garantía de la demostración científica aristotélica se establece sobre un elemento metafísico-intelectivo que hace que las cosas sean como deben de ser y como deben comportarse, es decir, atendiendo a su constitución natural. Tal constitución es justamente la esencia ―lo que está por debajo de los accidentes― que hace que las cosas particulares y concretas adquieran la inmutabilidad y la permanencia requeridas en el conocimiento científico. Es una esencia que es abstraída por el entendimiento para dotar a la inferencia lógica del carácter necesario requerido para producir el conocimiento científico[6]. A este respecto concluye diciendo que:

necesariamente hemos de conocer por comprobación (inducción, έπαγωγή), pues es así como la sensación produce en nosotros lo universal. […] la ciencia y la intuición son siempre verdaderas, que ningún otro género de saber es más exacto que la intuición, que los principios son más conocidos que las demostraciones, y que toda ciencia va acompañada de discurso, no habrá ciencia de los principios; y, comoquiera que no cabe que haya nada más verdadero que la ciencia, excepto la intuición, habrá intuición de los principios[7].

De manera que para validar la demostración científica el modelo metodológico aristotélico requiere de la necesidad que las cosas naturales no poseen en sí mismas, y que, por tanto, debe ser captada intelectivamente para producir y legitimar el conocimiento científico. Uno de esos principios necesarios intuidos a partir del comportamiento cinemático de todos los objetos y fenómenos era el "lugar natural" al que tendían por exigencia "natural". Esto porque: "La ciencia para Aristóteles está dirigida a estudiar las cosas tal y como nos parecen. Para Aristóteles la naturaleza de una cosa tiene que explicarse a través del comportamiento de dicha cosa en su estado natural, sin modificaciones o alteraciones que podamos infligir en la cosas natural estudiada, ya que tales imposiciones artificiales serán más bien una interferencia de nuestro conocimiento”[8]. De ahí que el Estagirita determinase que los fenómenos físicos debían ajustarse simplemente a principios metafísicos, y no a principios o conceptos matemáticos abstraídos del mundo material pero que no pertenecen a él; como lo deja claro cuando en relación al movimiento de los cuerpos y al carácter no material de la ciencia matemática, afirma lo siguiente: “todo movimiento natural es un movimiento hacia un lugar natural”; y, "no ha de exigirse el rigor matemático al tratar todas las cosas, sino al tratar de aquellas que no tienen materia. Por eso el método matemático no es propio de la física. Pues seguramente toda naturaleza tiene materia. Por tanto, ha de examinarse primero que es la naturaleza"[9]. Esto significa que desde una concepción fundamental de la realidad física ―no-matemática―, todo objeto posee una tendencia natural de moverse hacia o permanecer en su “lugar natural”, un lugar que forma parte del proceso teleológico de la realización existencial de toda entidad, ya que: “el desplazarse cada cuerpo hacia su lugar propio es ir hacia su propia forma específica”[10].

Es esta concepción metafísica que sustentaba el saber científico la que Galileo buscaba superar proponiendo un giro epistemológico hacia una fundamentación que ofreciera conocimientos demostrables. Godfrey Guillaumin lo expone muy claramente cuando señala que: “Dicho giro consiste en abandonar ideas preconcebidas sobre cómo es el mundo, o sobre qué tipo de principios metafísicos explicativos deben incorporarse o ajustarse los datos de la observación, y sustituye por una búsqueda de posibles fenómenos, o posibles factores explicativos que debe establecerse como realmente existentes”[11]. Es así porque Galileo no consideró que los principios explicativos de la ciencia fueran tan evidentes que pudieran ser intuidos, ni que la mejor demostración científica estuviera sustentada en una necesidad metafísica —una necesidad no propia de las sustancias materiales[12].

La nueva concepción metodológica: la matematización de la demostración científica

El proyecto epistemológico galileano pretendía situar a la ciencia como una empresa que indagara en la realidad natural concreta a partir de un recurso demostrativo no silogístico, sino más bien matemático. Desde su propia formación matemática y su declarada simpatía por Arquímedes e incluso por el pitagorismo, Galileo ya tenía clara su alternativa al sistema aristotélico que no consideraba la demostración matemática como decisiva; así lo hacía ver en palabras de Simplicio en su Dialogo sobre los sistemas máximos: “pero con Aristóteles diría que en las cosas naturales no se debe buscar siempre una necesidad en la demostración matemática”[13]. Esto sugiere que Galileo concebía para la ciencia un espacio para la contingencia, para el fallo y el error, y esto a partir, principalmente, de su propio objeto de estudio —la realidad— contingente, pero con posibilidad de medirla y cuantificarla con cierta precisión[14]. Por su parte, las palabras de Salviati indicaban la preferencia por las matemáticas afirmando que: “la verdad del conocimiento la cual es dada por pruebas matemáticas”[15]; y de igual forma, su propuesta metodológica la manifestaba claramente al inicio de su obra Le Meccaniche cuando afirmaba: “La creencia de que algo es falso, espero hacerlo manifiesto con demostraciones reales y necesarias que tendremos en curso”[16]. Tales demostraciones tenían que estar basadas en el método deductivo de fundamentación matemática, desarrollando una derivación rigurosa a partir de principios verdaderos. De manera que no se debía asumir ninguna conclusión como verdadera sin antes haber sido probada rigurosamente, y según el pisano: “Aristóteles es señalado por la crítica porque tomó proposiciones como axiomas, que no sólo no son evidentes a los sentidos, pero que además nunca se han probado, y no se pueden probar, ya que son completamente falsas”[17].

Desde la óptica galileana, la rigurosidad en la demostración debía estar basada en una estructura de proposiciones matemáticas que lograran una descripción real, en este caso, del problema del movimiento, y para ello los principios explicativos serían teoremas. Este método sería mejor y más seguro para la explicación científica de los fenómenos y procesos naturales con tanta implicación cuantitativa. Así lo manifestaba en torno a la dilucidación del problema del movimiento de los proyectiles en los Diálogos sobre las Dos Nuevas Ciencias:

"con el fin de manejar este asunto [la trayectoria parabólica de los proyectiles] de una manera científica, es necesario quedar libre de dificultades; y habiendo descubierto y demostrado los teoremas, en el caso de la no resistencia, para utilizarlas y aplicarlas con las limitaciones que la experiencia va a enseñar. Y la ventaja de este método [matemático] no será pequeña”[18].

Galileo demostró que la trayectoria parabólica que recorren los proyectiles es el resultado de dos movimientos simultáneos e independientes entre sí: “uno, el cual es un movimiento uniforme y horizontal, y otro que es vertical y naturalmente acelerado.”

Figura 1. Manuscrito no publicado, preservado como ƒ.116. Corresponde varios de los experimentos realizados por Galileo mediante los cuales descubrió la ley de la trayectoria parabólica en 1608. Fuente: Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze.

Las medidas de las distancias que la pelota (utilizada en el experimento) recorrió horizontalmente y los cálculos matemáticos de las distancias que esperaba Galileo, los realizó usando la ley de caída libre y el principio restringido de inercia. Los números en la parte inferior del manuscrito (figura 1) son sus cálculos de la distancia esperada (por él) que tendría que haber recorrido la pelota desde diferentes alturas. Suponiendo que la pelota rodó perfectamente sin resbalar y tocó el plano en un solo punto mientras rodaba, su aceleración en un plano de un ángulo de 30º grados serían 350 centímetros por segundo.

Concretamente, el experimento de 1608 fue realizado con varias alturas del plano, entre ellas con una de 600 punti (56.28cm) que dio como resultado una distancia horizontal (semi-parabólica) de 1172 punti (109.93cm); previamente, Galileo había calculado matemáticamente los posibles resultados por medio de la regla de la media proporcional (RMP), utilizando como referencia la fórmula:

donde D es la proyección horizontal (75.04 cm) y H es la altura del plano (28.14 cm). Los resultados dieron un error del 2.20%.

Junto a la demostración matemática, Galileo indicaba que ésta debía de ir seguida de su confirmación experimental con el fin de evitar conclusiones irreales. “Insiste Galileo en la complejidad de la relación entre experiencia y teoría, entre los datos que recogemos y la forma en que se interpretan, así como en la ingenuidad de ese empirismo aristotélico”[19]. Por esa razón, en respuesta a las palabras de Simplicio ante la solicitud de confirmación a Salviati sobre sus conclusiones acerca de la caída de los graves, así afirmaba: “La solicitud que tú, como un hombre de ciencia, haces, es una muy razonable; ya que ésta es la costumbre ―y adecuadamente― en aquellas ciencias donde se aplican las demostraciones matemáticas a los fenómenos naturales”[20]. De manera que para Galileo lograr una comprobación empírica era requisito imprescindible para la obtención de conclusiones científicas (verdaderas). De ahí que la experimentación sea el componente inseparable del nuevo énfasis matemático.

Históricamente, Galileo limita el ámbito de la ciencia a las propiedades objetivas que se pueden cuantificar o matematizar a diferencia de las ocultas o puramente metafísicas. Es por ello que para Galileo ―y siguiendo aquí a Aristóteles― la ciencia debe proceder por inducción, esto es, de la observación a los principios generales (conceptuales y matemáticos) y seguidamente a las observaciones. Según esto, la metodología propuesta por Galileo para la ciencia debía sustentarse en la corroboración experimental de las ideas o teorías sostenidas, ya que él mismo no rechazaba la idealización sino más bien el dogmatismo que fomenta la enunciación de ideas científicas carentes de validación experimental. “Galileo insistía en la importancia de la abstracción y de la idealización para la física, extendiendo por tanto el alcance de las técnicas inductivas”[21]; de modo tal que no hay una exclusión del elemento teórico o especulativo en el pensamiento de Galileo, sino una exigencia de ordenación y completud del método científico —con sus correspondientes exclusiones. Para el científico de Pisa, la experiencia fenoménica aristotélica con su invariable necesidad natural no es suficiente para elaborar una explicación científica, sino que de una manera adecuada los fenómenos tienen que ser interpretados por medio de recursos rigurosos que se adecuen a lo que la realidad empírica realmente es, y producir así información científica.

La intención y logro de Galileo fue darle el lugar correspondiente a la demostración matemática y a la experimentación en la metodología científica —e incluyendo la conveniencia de la prueba y el error—, y con ello propiciar el surgimiento de la nueva ciencia experimental y matematizada. Así se pudo lograr un cambio estructural en una filosofía natural cimentada mayormente en la tradición lógico-metafísica aristotélica. Por esta vía lograron surgir las ciencias que en adelante trataría los fenómenos concretos y muy específicos con mucha más precisión, a diferencia de la especulación que se quedaría con lo más general y vago. En suma, el establecimiento y consolidación de la matematización de la ciencia por sobre la especulación metafísica ha representado un gran avance cognoscitivo acorde con los estándares racionales exigidos para la verdadera descripción y el efectivo control del mundo.

Bibliografía Aristóteles, Analíticos Segundos, Tratados de Lógica (Órganon II), Editorial Gredos, Madrid, 1995.

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Rescher, N., Error: On Our Predicament When Things Go Wrong, University of Pittsburgh Press, Pittsburgh, 2007.

Sellés, M., Solís, C., Revolución científica, Editorial Síntesis, Madrid, 1994.

Stillman, D., Galileo A Very Short Introduction, Oxford University Press, New York, 1980.

[1] Por filosofía natural se entiende lo que eran las ciencias físicas antes de la Revolución científica del siglo XVII.

[2] Galileo Galilei, Opere (editado por Franz Brunetti). Editrice Torinese, Torino, 1964. p. 374.

[3] Losee, J., Introducción histórica a la filosofía de la ciencia. Alianza Editorial, Madrid, 2006. p. 64.

[4] De acuerdo con Aristóteles, los principios (arkhaí) son un conjunto de conceptos, categorías, distinciones, correlaciones, expresiones lingüísticas, con los cuales se podría dar respuesta a cuestiones primarias para emprender la indagación científica, como p.e. ¿cuáles con las propiedades más generales de una entidad? ¿Cómo están compuestas? ¿para qué sirvan cada una de sus partes? ¿cómo se relaciona con otras entidades?, etc.; “son principios propios, por ejemplo, el ser tal clase de línea y el ser recto; y comunes, por ejemplo: si se quitan partes iguales de cosas iguales, las que quedan son iguales. Y cada uno de éstos es adecuado sólo en su género: en efecto, valdrá lo mismo aunque no se tome acerca de todo, sino sólo acerca de las magnitudes, y para el número en la aritmética.”; Aristóteles, Analíticos Segundos, Tratados de Lógica, pp. 336-337.

[5] Aristóteles, Analíticos Segundos, Tratados de Lógica (Órganon II). Editorial Gredos, Madrid, 1995. pp. 316, 328-331.

[6] Un problema para Aristóteles consistía en dotar a los objetos materiales contingentes de la necesidad que identifica a la ciencia; esto era logrado por el concepto universal incluido en el silogismo lógico.

[7] Aristóteles, Analíticos Segundos, Tratados de Lógica, pp. 439-440. Por principios primeros (no-contradicción, tercero excluido, etc.), Aristóteles entiende aquellas verdades indemostrables que toda indagación científica presupone para así poder hacer demostraciones de los objetos y fenómenos propios de cada ciencia.

[8] Guillaumin, G., El surgimiento de la noción de evidencia. Un estudio de epistemología histórica sobre la idea de evidencia científica, Universidad Nacional Autónoma de México, México, 2005. p. 201.

[9] Aristóteles, Metafísica, Editorial Gredos, Madrid, 1994, p. 128. Citado por Losee, J., Introducción histórica a la filosofía de la ciencia, Alianza Editorial, Madrid, 2006. p. 22.

[10] Aristóteles, Acerca del Cielo – Metrológicos, Editorial Gredos, Madrid, 1996. p. 123.

[11] Guillaumin, G., El surgimiento de la noción de evidencia, p. 199.

[12] Desde Platón, principalmente, la necesidad metafísica pertenecía exclusivamente a las realidades eternas, inmutables y trascendentes de las Ideas. Y siendo la ciencia —de las sustancias materiales— para Aristóteles un conocimiento fijo, estable, universal y necesario, tal necesidad la encontraba en una necesidad lógica relativa, pero ahora una necesidad en cuanto al modo de conocer los objetos del mundo físico.

[13] Galileo Galilei, Dialogo sobre los sistemas máximos, Jornada primera. Aguilar, Buenos Aires, 1975. p. 47.

[14] La cuantificación del error es también una manera de decir como realmente son las cosas del mundo; como afirma Rescher: “La idea misma de error implica suscribirse a algún tipo de realismo: el error exige incorrección, conflictos con los hechos reales, y si no hubiera una cuestión de hecho real, tampoco habría error. Para que el error sea posible, debe haber algo distintivamente objetivo y real en lo que estar equivocado. En un reino sin ninguna realidad, un reino de meras apariencias donde todo es ilusión y engaño no es posible el error”;, Rescher, N., Error: On Our Predicament When Things Go Wrong, University of Pittsburgh Press, Pittsburgh, 2007p. 80.

[15] Citado por Lovell Wisan, W., Galileo's Scientific Method, en Butts, R. E., (ed.) Pitt, J. C., (ed.) New perspectives on Galileo, Reidel Publishing Company, Dordrecht, 1978. P. 27.

[16] Galileo Galilei, Opere (editado por Franz Brunetti). Editrice Torinese, Torino, 1964. p. 140.

[17] Lovell Wisan, W., Galileo's Scientific Method, cit. p. 7.

[18] Galileo Galilei, Dialogues Concerning Two New Sciences (1638), trad. por H. Crew y A. de Salvio, Dover Publications, New York, 1914. p. 253.

[19] Guillaumin, G., El surgimiento de la noción de evidencia, cit, p. 209.

[20] Galileo Galilei, Dialogues Concerning Two New Sciences, cit, p. 178.

[21] Losee, J., Introducción histórica a la filosofía de la ciencia, cit. p. 64.